История про квадрат с пятиугольником

На минувшей неделе я снова вёл Geometry-Kanal на Телеграме. И совершенно неожиданно для себя "застрял" на внешне несложной геометрической задаче.

Здесь очевидным образом расположены квадрат и правильный пятиугольник, а спрашивается угол между "псевдодиагоналями" CE и DF. Взял я эту задачу из геометрической группы в фейсбуке Romantics of Geometry, до ответа догадался минут за пять, и решил, что к вечеру как-нибудь найду разумное решение. В итоге не нашел ничего, хотя постарался. Но об этом - ниже.

Сразу должен сказать, что на http://www.cut-the-knot.org есть целых два решения задачи. Одно - через тригонометрию (ей-богу, нетрудное, но громоздкое), другое - через комплексные числа (еще менее трудное и даже не слишком громоздкое, но все-таки комплексные...).

При этом на вышеупомянутом cut-the-knot есть замечательная подсказка:

Из этой подсказки сразу следует ответ, но как доказать саму подсказку? Я думал над этим в общей сложности пару часов - и не преуспел. Кроме этого, мне пришло в голову поискать другие точки, лежащие на тех же псевдодиагоналях. Нашлись даже несколько.

Я могу найти (то есть доказать) величину угла между DF и CJ. Проблема в том, как доказать, что C,E,J лежат на одной прямой. Еще я могу доказать величину угда между CE и DK. Проблема та же самая - как доказать, что D, F и K лежат на одной прямой. И, наконец, у меня всё получится, если рассматривать точку H как вторую (кроме А) точку пересечения двух окружностей - сплошной и пунктирной, и суметь доказать, что она лежит хотя бы на одной из двух псевдодиагоналей. То есть прямо кладезь разных фактов, ни один из которых не желает доказываться геометрически, но при этом любого хватит, чтобы решить задачу.

Ну и еще на закуску один вариант пути доказательства.

Здесь М - общая точка двух окружностей (на рисунке показаны дуги, центром одной является D, а другой - F). Если доказать, что она попадает на CE, то дальше тоже всё будет хорошо (четырехугольник DMFB представляет собой два равнобедренных треугольника с общим основанием MB; поэтому DF является биссектрисой углов D и F, а это уже позволяет сосчитать все нужные углы). Но вот как-то не складывается и этот факт тоже...

Треугольники и квадраты

33. Как тремя единичными квадратами полностью покрыть [возможно, с наложениями] правильный треугольник со стороной 2? Можно ли покрыть правильный треугольник со стороной, большей двух? Отметим переменную точку D на стороне и точку O - центр квадрата. Будем поворачивать квадрат так, чтобы вершина треугольника оставалась вершиной квадрата, а точки D и O лежали на противоположной стороне. При таком вращении размер квадрата будет уменьшаться. В момент около t=0.523 (ползунок можно приостановить, нажав на паузу) квадраты перестают покрывать весь треугольник. Именно в этот момент длина стороны квадрата - наименьшая относительно фиксированного треугольника, а если считать ее равной 1, то сторона треугольника оказывается наибольшей.

Теорема Боттемы

Задача 32 в Геометрия-канале имеет собственное имя - она называется теоремой Боттемы. 

Эне Боттема (1901-1992) - голландский математик, наиболее известный своими трудами в геометрии.

Теорема Боттемы утверждает, что середина отрезка Ab Ba - точка М - не зависит от положения вершины C. На этом рисунке показаны некоторые вспомогательнгые свойства точки M.

Мы приведем три разных доказательства теоремы. Первое - совсем простое, но использующее комплексные числа.

Пусть вершины A,B и C задаются комплексными числами α, β и γ соответственно. Умножение комплексного числа на i равносильно поворота на угол p/2 против часовой стрелки, а умножение на (-i) - повороту в обратном направлении. Это значит, что Ba = α + (γ - α)·i и Ab = β + (γ - β)·(-i), откуда (Ab + Ba)/2 = (α + β)/2 + (β - α)·i/2. Очевидно, что это выражение не зависит от C = γ, что и требовалось доказать. [Отсюда же сразу получается, что AMB - равнобедренный прямоугольный треугольник, как показано на рисунке выше],

Второе доказательство - вычисление в координатах - для тех, кто не знаком с комплексными числами.

Расположим начало координат в точке O - середине отрезка AB. Пусть A=(−1,0), B=(1,0), а C=(x,y). Тогда нетрудно сосчитать координаты 

Ab=(y+1,1−x) и Ba=(−1−y,1+x), откуда середина отрезка между ними имеет координаты

 (Ab+Ba)/2=(0,1).

Ну а третье доказательство будет в стиле "смотри". Вертикальный отрезок посередине
делит прямоугольник пополам, поскольку проходит (по построению) через середину
отрезка AB, а левая вертикальная сторона находится от А на таком же расстоянии, как
правая - от B (оба этих расстояния равны высоте CH). Следовательно, середина отрезка
EG непременно попадает на этот отрезок. При этом - попадает в его середину, 
так как точка E находится на расстоянии синего отрезка от нижней стороны 
прямоугольника, а точка G - на таком же расстоянии от верхней стороны.  

Все приведенные здесь доказательства взяты с сайта Александра Богомольного Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/GeoGebra/VisualBottema.shtml,

.