Треугольники и квадраты

33. Как тремя единичными квадратами полностью покрыть [возможно, с наложениями] правильный треугольник со стороной 2? Можно ли покрыть правильный треугольник со стороной, большей двух? Отметим переменную точку D на стороне и точку O - центр квадрата. Будем поворачивать квадрат так, чтобы вершина треугольника оставалась вершиной квадрата, а точки D и O лежали на противоположной стороне. При таком вращении размер квадрата будет уменьшаться. В момент около t=0.523 (ползунок можно приостановить, нажав на паузу) квадраты перестают покрывать весь треугольник. Именно в этот момент длина стороны квадрата - наименьшая относительно фиксированного треугольника, а если считать ее равной 1, то сторона треугольника оказывается наибольшей.

Теорема Боттемы

Задача 32 в Геометрия-канале имеет собственное имя - она называется теоремой Боттемы. 

Эне Боттема (1901-1992) - голландский математик, наиболее известный своими трудами в геометрии.

Теорема Боттемы утверждает, что середина отрезка Ab Ba - точка М - не зависит от положения вершины C. На этом рисунке показаны некоторые вспомогательнгые свойства точки M.

Мы приведем три разных доказательства теоремы. Первое - совсем простое, но использующее комплексные числа.

Пусть вершины A,B и C задаются комплексными числами α, β и γ соответственно. Умножение комплексного числа на i равносильно поворота на угол p/2 против часовой стрелки, а умножение на (-i) - повороту в обратном направлении. Это значит, что Ba = α + (γ - α)·i и Ab = β + (γ - β)·(-i), откуда (Ab + Ba)/2 = (α + β)/2 + (β - α)·i/2. Очевидно, что это выражение не зависит от C = γ, что и требовалось доказать. [Отсюда же сразу получается, что AMB - равнобедренный прямоугольный треугольник, как показано на рисунке выше],

Второе доказательство - вычисление в координатах - для тех, кто не знаком с комплексными числами.

Расположим начало координат в точке O - середине отрезка AB. Пусть A=(−1,0), B=(1,0), а C=(x,y). Тогда нетрудно сосчитать координаты 

Ab=(y+1,1−x) и Ba=(−1−y,1+x), откуда середина отрезка между ними имеет координаты

 (Ab+Ba)/2=(0,1).

Ну а третье доказательство будет в стиле "смотри". Вертикальный отрезок посередине
делит прямоугольник пополам, поскольку проходит (по построению) через середину
отрезка AB, а левая вертикальная сторона находится от А на таком же расстоянии, как
правая - от B (оба этих расстояния равны высоте CH). Следовательно, середина отрезка
EG непременно попадает на этот отрезок. При этом - попадает в его середину, 
так как точка E находится на расстоянии синего отрезка от нижней стороны 
прямоугольника, а точка G - на таком же расстоянии от верхней стороны.  

Все приведенные здесь доказательства взяты с сайта Александра Богомольного Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/GeoGebra/VisualBottema.shtml,

.