На минувшей неделе я снова вёл Geometry-Kanal на Телеграме. И совершенно неожиданно для себя "застрял" на внешне несложной геометрической задаче.
Здесь очевидным образом расположены квадрат и правильный пятиугольник, а спрашивается угол между "псевдодиагоналями" CE и DF. Взял я эту задачу из геометрической группы в фейсбуке
Romantics of Geometry, до ответа догадался минут за пять, и решил, что к вечеру как-нибудь найду разумное решение. В итоге не нашел ничего, хотя постарался. Но об этом - ниже.
Сразу должен сказать, что на
http://www.cut-the-knot.org есть целых два решения задачи. Одно - через тригонометрию (ей-богу, нетрудное, но громоздкое), другое - через комплексные числа (еще менее трудное и даже не слишком громоздкое, но все-таки комплексные...).
При этом на вышеупомянутом cut-the-knot есть замечательная подсказка:
Из этой подсказки сразу следует ответ, но как доказать саму подсказку? Я думал над этим в общей сложности пару часов - и не преуспел. Кроме этого, мне пришло в голову поискать другие точки, лежащие на тех же псевдодиагоналях. Нашлись даже несколько.
Я могу найти (то есть доказать) величину угла между DF и CJ. Проблема в том, как доказать, что C,E,J лежат на одной прямой. Еще я могу доказать величину угда между CE и DK. Проблема та же самая - как доказать, что D, F и K лежат на одной прямой. И, наконец, у меня всё получится, если рассматривать точку H как вторую (кроме А) точку пересечения двух окружностей - сплошной и пунктирной, и суметь доказать, что она лежит хотя бы на одной из двух псевдодиагоналей. То есть прямо кладезь разных фактов, ни один из которых не желает доказываться геометрически, но при этом любого хватит, чтобы решить задачу.
Ну и еще на закуску один вариант пути доказательства.
Здесь М - общая точка двух окружностей (на рисунке показаны дуги, центром одной является D, а другой - F). Если доказать, что она попадает на CE, то дальше тоже всё будет хорошо (четырехугольник DMFB представляет собой два равнобедренных треугольника с общим основанием MB; поэтому DF является биссектрисой углов D и F, а это уже позволяет сосчитать все нужные углы). Но вот как-то не складывается и этот факт тоже...
