Еще две параметрические задачи про углы
30.07.2018
Внимание! Эта заметка содержит сразу решения задач, поэтому если хотите порешать что-то самостоятельно - пролистайте до конца и посмотрите на рис. 4. Задача состоит в том, чтобы определить на нём величину угла LBC.
 |
| Рис. 1. Правильный треугольник внутри трапеции |
Рассмотрим такую трапецию ABCD с основаниями AD и BC, у которой AB=CD=AD. Построим внутрь нее на основании AD равносторонний треугольник ADK (рис.1). Для простоты будем считать, что точка K оказалась внутри трапеции.
Такой же рисунок, очевидно, мы бы получили, если бы поступили противоположным образом - начав с правильного треугольника, пристроили бы к нему равнобедренные треугольники AKB и KCD.
Поскольку боковые стороны этой трапеции равны, то она вписанная (еще раз см. рис. 1). Это означает, что мы можем легко найти в ней все углы, точнее, выразить их через какой-то один. Например, если обозначить через x углы KCB и KBC, то последовательно получим BKC=180-2x, BKA=CKD=(120+2x)/2 = 60+x, затем ABK=DCK=60+x, KAB=KDC=60-2x. На самом деле это еще не всё, и из рисунка можно выразить также, например, угол CAK: CDA=120-2x, поэтому CAD=ACD=30+x, а значит, CAK=60-CAD=30-x. Ну и дополнительно отметим, что ACK=30 как вписанный угол в окружности (D,DC), опирающийся на дугу 60 градусов.
Теперь вытрем на картинке всё лишнее и посмотрим на то, что осталось (рис. 2).
 |
| Рис. 2. Треугольник и точка внутри него |
Что мы здесь видим? Ничем не примечательный треугольник ABC с углами при основании 30+x и 90-3x и какую-то точку K внутри него, "направления" на которую делят угол C на 30 и x. а угол A - в отношении 1:2. Видно ли из этого рисунка, что AK=AB или что KB=KC? Нет. Позволяет ли этот рисунок сам по себе (без точки D) найти хоть какие-то из неочевидных углов? Тоже нет.
Однако понимая, как этот рисунок получен из предыдущего, мы легко докажем всё что надо. Точно легко? Да, безусловно. Начать нужно с построения D как центра окружности, описанной вокруг AKC (убедитесь по рис.1, что это так и было). Тогда мы сразу получаем, что ADK=2ACK = 60, а значит, AK равен радиусу этой окружности. Кроме того, мы получаем и величину угла ADC = 360 - 2AKC = 2(180-AKC)=2(KAC+KCA)=120+2x и можем заметить, что это равно дополнению угла ABC=60+2x до 180 градусов, то есть четырехугольник ABCD - вписанный. Сопоставляя два свойства точки D, получаем, что она - середина дуги AC описанной окружности треугольника ABC. Или, иными словами, получаем, что BD - биссектриса угла ABC. А вот теперь у нас сошелся весь пазл: половина угла B равна 30+x, угол BAD равен BAK+KAD=(60-2x)+60, поэтому третий угол треугольника ABD равен 180-(30+x)-(120-2x)=30+x, а значит, этот треугольник равнобедренный. Ура, - мы только что доказали, что AB=AD=AK ! Теперь уже вычисление всех углов делается автоматически.
Можно ли выжать из этого рисунка что-то еще? Долгое время я полагал, что нет. Однако середина дуги описанной окружности (И.А.Кушнир зовёт ее W) умеет дарить открытия. Посмотрите на рис. 3.
На нем пунктирными линиями показаны дуга окружности, описанной около треугольника BKC, серединный перпендикуляр к BK, который в силу равнобедренности BAK прошел через A и поделил угол 60-2x пополам, а также биссектриса угла BCK. Мы понимаем, что все три пунктира пересеклись в одной точке, да? Но для этой точки (обозначим ее L) мы легко можем найти величину угла LBC - он больше KBC ровно на x/2, потому что углы LBK и LCK равны. Иначе говоря, мы научились находить "недостающие" углы уже для новой внутренней точки L в том же треугольнике - такой, для которой угол C=30+x разделён на 30 + x/2 и x/2, а угол A=90-3x разделён на 60-2x при основании и 30-x при боковой стороне.
При этом, в отличие от рисунка с точкой K, здесь нет ни явных "хороших" углов типа 30 градусов, ни равных отрезков. Если бы мы не знали, что эту картинку можно получить (а значит, и доказать ее свойства) из предыдущей, то было бы совершенно непонятно, есть ли у такой задачи геометрическое решение.
