Пост из ФБ

 Кому-то в фейсбуке не понравился мой февральский пост в "Школьных математических кружках" - мол, он нарушает нормы сообщества в отношении спама. Indeed?

Ну Ок, перепощу его сюда.

О задачниках для 11-13-летних

Четыре года назад я написал пост "О задачках для 7-10-летних". Начал я его с утверждения "совсем хороших книжек с задачками для этого возраста нет".

Дальше попытался кратко и без излишних обоснований-объяснений высказать несколько почти бесспорных для меня тогда (да и сейчас тоже) тезисов о начальных этапах математического образования детей. В тот момент мой личный опыт обучения детей этого возраста практически исчерпывался занятиями с двумя моими старшими детьми - а так как у очень многих коллег он был ощутимо большим, то в конце поста я попросил всех желающих поделиться и своими ответами на этот вопрос. Разумеется, в комментариях были названы очень многие хорошие книжки - как с явно сформулированными задачками, так и такие, в которых задачки вплетены в художественную ткань. И я не стал ни с кем спорить...

Но вот сейчас я, во-первых, прошел этот самый путь начального освоения математики с младшей дочерью (тогда она была в первом классе, сейчас в пятом), а во-вторых, немножко поварился в математических турнирах для детей этого самого возраста. И... наконец, дозрел написать текст про задачные книжки для детей 11-13 лет, то есть того возраста, с которым я обычно начинал заниматься в кружках и летних школах. Вы не обязаны со мной соглашаться, и тут я тоже приглашаю всех высказываться по существу. Но... прошу всех не забывать о том, как выглядит кривая на графике эффекта Даннинга-Крюгера. Если вы хотите добавить в своём комментарии книжку, которую я скорее всего тоже знаю, но почему-то сюда не включил, - подумайте, может быть, причина не в том, что я про неё забыл?..

Итак, преамбула.
Как и для более младших детей, основным и наиболее действенным методом вовлечения в математику я считаю занятия кружка. Ситуация правильного маткружка, в общем-то, снимает с родителей заботу о подборе нужных книжек. Тем не менее, ситуации у всех разные, кому-то не удается оказаться в хорошем кружке, а интерес к математике есть. Тогда - читайте внимательно.

Книг по популярной и занимательной математике - океан. Отечественных и переводных, прошедших проверку временем и совсем свежих, "голых" задачников и научно-художественных книг со вполне адекватной фабулой. Если вы, не будучи специалистом, пытаетесь подобрать ребёнку книжки для погружения в математику, то попробуйте проложить траекторию "от А до Г", выбрав хотя бы по одной книжке из каждой категории (если категорию А ваш ребенок прошел в более младшем возрасте, её, конечно, можно пропустить). И - это главное - не торопитесь. Если научно-художественную книжку можно проглотить за несколько дней, то книжки следующих уровней будут требовать уже намного большего времени для "прохождения", причём вполне возможно, что после какого-то из уровней ребёнок скажет "хватит, мне это больше не интересно".

УРОВЕНЬ А. ПУТЕШЕСТВИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МИРЫ.

"Три дня в Карликании", "Чёрная маска из Аль-Джебры", "Фрегат капитана Единицы"  "Нулик-Мореход"), "Магистр Рассеянных Наук", "Новые рассказы Рассеянного Магистра" - автор этих книг Владимир Лёвшин (он написал не только их, но другие его книжки уже не совсем уровня А).

"Волшебный двурог" Сергея Боброва.

"Алиса в стране математики" Льва Генденштейна.

(список можно еще долго продолжать - см. https://www.livelib.ru/.../1579711-puteshestviya-v..., эту подборку я создал около года назад и время от времени дополняю)

УРОВЕНЬ Б. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАЗВЛЕЧЕНИЯ

"Математические чудеса и тайны" Мартина Гарднера

"В царстве смекалки" Емельяна Игнатьева

"Живая математика" Якова Перельмана

"Головоломки профессора Головоломки" Михаила Гершензона

"Математическая смекалка" Бориса Кордемского

"Математическая шкатулка" Фёдора Нагибина

"Весёлое и занимательное о числах и фигурах" Вальтера Литцмана

"По следам Пифагора" Щепана Еленьского

"Математический винегрет" Игоря Шарыгина

"Логическая игра" Льюиса Кэрролла

"Твоё свободное время" (Болховитинов, Колтовой, Лаговский)

"Как же называется эта книга" Рэймонда Смаллиана

"Математическая мозаика" Сэма Лойда

последние две из этих книг входят в огромную и очень полезную серию занимательных математических книг издательства "Мир", хорошо знакомую старшему поколению: http://knop.website/math/mir/ Следующие книжки этой серии я буду обозначать вот таким вот значком: △⚬.Не все книги в этой серии равноценны, и хотя бы по этой причине на них не следует слишком "зависать".

УРОВЕНЬ В. ЗА СТРАНИЦАМИ ШКОЛЬНЫХ УЧЕБНИКОВ

Это название более чем условно. Объединяет книжки этого уровня то, что в них математика предстаёт единым целым, состоящим из осмысленных частей, а не просто набором развлекательных задач-головоломок, решения которых берутся непонятно откуда. Впрочем, часть книг из предыдущего уровня стоило бы скопировать сюда тоже, потому что они не сводятся к чисто развлекательной подборке...

"75 задач по элементарной математике - простых, но..." Александра Островского

"Флатландия" Эдвина Эббота △⚬ и "Уроки дедушки Гаврилы" Игоря Шарыгина - про геометрию

"Занимательная алгебра" Якова Перельмана - про алгебру

"Логические задачи" Жана-Клода Байифа △⚬ и "Занимательная логика" Эрнеста Кольмана и Отокара Зиха - про логику

"Смотри в корень!" Петра Маковецкого - про физику (да-да, прочитать эту книжку стоит всем увлекающимся математикой, и она точно лучше "Занимательной физики" всё того же Перельмана)

"Математические головоломки и развлечения", "Математические новеллы", "Математические досуги", "Крестики-нолики", "Путешествие во времени" и "От мозаик Пенроуза к надёжным шифрам" Мартина Гарднера (все - △⚬)

"50 занимательных вероятностных задач с решениями" Фредерика Мостеллера

Добавлю к этому уровню также несколько толстых книг-энциклопедий, которые точно не надо читать подряд от корки до корки, но полезно иметь на книжной полке.

Энциклопедия для детей, том "Математика" издательства Аванта+.
"Что такое математика" Рихарда Куранта и Гаральда Роббинса
"Математическая составляющая" под ред. Николая Андреева

УРОВЕНЬ Г. КРУЖКОВЫЕ ЗАДАЧНИКИ

"Ленинградские математические кружки" Сергея Генкина, Ильи Итенберга и Дмитрия Фомина (электронное издание https://biblio.mccme.ru/node/148445/shop)

"Дневник математического кружка" (и первый, и второй год) Анны Бураго (https://biblio.mccme.ru/node/18429/shop, https://biblio.mccme.ru/node/55928/shop)

"Занимательные математические задачи" Анатолия Савина
(https://www.mathedu.ru/.../savin_zanimatelnye.../p0/)

"1001 задача по математике" Александра Спивака (этой книги нет в электронном формате, но можно скачать чуть другую
https://biblio.mccme.ru/node/18431/shop)

"Как решают нестандартные задачи" Алексея Канеля и Александра Ковальджи (https://biblio.mccme.ru/node/110159/shop)

"Арифметика и наглядная геометрия. Задачи" (5 и 6 классы), "Алгебра. Задачи" (7 класс) Виктора Прасолова

"Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра" Д.О. Шклярского с соавторами

"Задачи для детей от 5 до 15 лет" Владимира Арнольда (название вводит в заблуждение, но первые 3-4 страницы в целом доступны для тринадцатилетних детей)

Сюда же нетрудно добавить книги серий "Школьные математические кружки" (детальнее см. http://ashap.info/Knigi/Matkruzhki/index.html), "Библиотечка физико-математической школы" (https://math.ru/lib/ser/zaochn) и любые сборники задач математических олимпиад. Впрочем, если вы дошли до этого места в списке, то ваш ребенок уже вполне готов сам выбирать ту литературу, которую ему будет интересно читать, а свою функцию гида по популярно-математической литературе я на этом считаю выполненной.

Шесть перпендикуляров (Квант 09.2020)

Carlyle circles or How to solve quadratic equations with compass and straightedge (Kvant, 07/2020, rus)

Волшебники Джона Конвея (Квант 08/2020)

Еще две параметрические задачи про углы

Еще две параметрические задачи про углы

30.07.2018

Внимание! Эта заметка содержит сразу решения задач, поэтому если хотите порешать что-то самостоятельно - пролистайте до конца и посмотрите на рис. 4. Задача состоит в том, чтобы определить на нём величину угла LBC. 

Рис. 1. Правильный треугольник внутри трапеции

Рассмотрим такую трапецию ABCD с основаниями AD и BC, у которой AB=CD=AD. Построим внутрь нее на основании AD равносторонний треугольник ADK (рис.1). Для простоты будем считать, что точка K оказалась внутри трапеции. 

Такой же рисунок, очевидно, мы бы получили, если бы поступили противоположным образом - начав с правильного треугольника, пристроили бы к нему равнобедренные треугольники AKB и KCD.

Поскольку боковые стороны этой трапеции равны, то она вписанная (еще раз см. рис. 1). Это означает, что мы можем легко найти в ней все углы, точнее, выразить их через какой-то один. Например, если обозначить через x углы KCB и KBC, то последовательно получим BKC=180-2x, BKA=CKD=(120+2x)/2 = 60+x, затем ABK=DCK=60+x, KAB=KDC=60-2x. На самом деле это еще не всё, и из рисунка можно выразить также, например, угол CAK: CDA=120-2x, поэтому CAD=ACD=30+x, а значит, CAK=60-CAD=30-x. Ну и дополнительно отметим, что ACK=30 как вписанный угол в окружности (D,DC), опирающийся на дугу 60 градусов.

Теперь вытрем на картинке всё лишнее и посмотрим на то, что осталось (рис. 2).

Рис. 2. Треугольник и точка внутри него

Что мы здесь видим? Ничем не примечательный треугольник ABC с углами при основании 30+x и 90-3x и какую-то точку K внутри него, "направления" на которую делят угол C на 30 и x. а угол A - в отношении 1:2. Видно ли из этого рисунка, что AK=AB или что KB=KC? Нет. Позволяет ли этот рисунок сам по себе (без точки D) найти хоть какие-то из неочевидных углов? Тоже нет. 

Однако понимая, как этот рисунок получен из предыдущего, мы легко докажем всё что надо. Точно легко? Да, безусловно. Начать нужно с построения D как центра окружности, описанной вокруг AKC (убедитесь по рис.1, что это так и было). Тогда мы сразу получаем, что ADK=2ACK = 60, а значит, AK равен радиусу этой окружности. Кроме того, мы получаем и величину угла ADC = 360 - 2AKC = 2(180-AKC)=2(KAC+KCA)=120+2x и можем заметить, что это равно дополнению угла ABC=60+2x до 180 градусов, то есть четырехугольник ABCD - вписанный. Сопоставляя два свойства точки D, получаем, что она - середина дуги AC описанной окружности треугольника ABC. Или, иными словами, получаем, что BD - биссектриса угла ABC. А вот теперь у нас сошелся весь пазл: половина угла B равна 30+x, угол BAD равен BAK+KAD=(60-2x)+60, поэтому третий угол треугольника ABD равен 180-(30+x)-(120-2x)=30+x, а значит, этот треугольник равнобедренный. Ура, - мы только что доказали, что AB=AD=AK ! Теперь уже вычисление всех углов делается автоматически.

Можно ли выжать из этого рисунка что-то еще? Долгое время я полагал, что нет. Однако середина дуги описанной окружности (И.А.Кушнир зовёт ее W) умеет дарить открытия. Посмотрите на рис. 3.

На нем пунктирными линиями показаны дуга окружности, описанной около треугольника BKC, серединный перпендикуляр к BK, который в силу равнобедренности BAK прошел через A и поделил угол 60-2x пополам, а также биссектриса угла BCK. Мы понимаем, что все три пунктира пересеклись в одной точке, да? Но для этой точки (обозначим ее L) мы легко можем найти величину угла LBC - он больше KBC ровно на x/2, потому что углы LBK и LCK равны. Иначе говоря, мы научились находить "недостающие" углы уже для новой внутренней точки L в том же треугольнике - такой, для которой угол C=30+x разделён на 30 + x/2 и x/2, а угол A=90-3x разделён на 60-2x при основании и 30-x при боковой стороне.

При этом, в отличие от рисунка с точкой K, здесь нет ни явных "хороших" углов типа 30 градусов, ни равных отрезков. Если бы мы не знали, что эту картинку можно получить (а значит, и доказать ее свойства) из предыдущей, то было бы совершенно непонятно, есть ли у такой задачи геометрическое решение.

 

    

 

История про квадрат с пятиугольником

На минувшей неделе я снова вёл Geometry-Kanal на Телеграме. И совершенно неожиданно для себя "застрял" на внешне несложной геометрической задаче.

Здесь очевидным образом расположены квадрат и правильный пятиугольник, а спрашивается угол между "псевдодиагоналями" CE и DF. Взял я эту задачу из геометрической группы в фейсбуке Romantics of Geometry, до ответа догадался минут за пять, и решил, что к вечеру как-нибудь найду разумное решение. В итоге не нашел ничего, хотя постарался. Но об этом - ниже.

Сразу должен сказать, что на http://www.cut-the-knot.org есть целых два решения задачи. Одно - через тригонометрию (ей-богу, нетрудное, но громоздкое), другое - через комплексные числа (еще менее трудное и даже не слишком громоздкое, но все-таки комплексные...).

При этом на вышеупомянутом cut-the-knot есть замечательная подсказка:

Из этой подсказки сразу следует ответ, но как доказать саму подсказку? Я думал над этим в общей сложности пару часов - и не преуспел. Кроме этого, мне пришло в голову поискать другие точки, лежащие на тех же псевдодиагоналях. Нашлись даже несколько.

Я могу найти (то есть доказать) величину угла между DF и CJ. Проблема в том, как доказать, что C,E,J лежат на одной прямой. Еще я могу доказать величину угда между CE и DK. Проблема та же самая - как доказать, что D, F и K лежат на одной прямой. И, наконец, у меня всё получится, если рассматривать точку H как вторую (кроме А) точку пересечения двух окружностей - сплошной и пунктирной, и суметь доказать, что она лежит хотя бы на одной из двух псевдодиагоналей. То есть прямо кладезь разных фактов, ни один из которых не желает доказываться геометрически, но при этом любого хватит, чтобы решить задачу.

Ну и еще на закуску один вариант пути доказательства.

Здесь М - общая точка двух окружностей (на рисунке показаны дуги, центром одной является D, а другой - F). Если доказать, что она попадает на CE, то дальше тоже всё будет хорошо (четырехугольник DMFB представляет собой два равнобедренных треугольника с общим основанием MB; поэтому DF является биссектрисой углов D и F, а это уже позволяет сосчитать все нужные углы). Но вот как-то не складывается и этот факт тоже...

Треугольники и квадраты

33. Как тремя единичными квадратами полностью покрыть [возможно, с наложениями] правильный треугольник со стороной 2? Можно ли покрыть правильный треугольник со стороной, большей двух? Отметим переменную точку D на стороне и точку O - центр квадрата. Будем поворачивать квадрат так, чтобы вершина треугольника оставалась вершиной квадрата, а точки D и O лежали на противоположной стороне. При таком вращении размер квадрата будет уменьшаться. В момент около t=0.523 (ползунок можно приостановить, нажав на паузу) квадраты перестают покрывать весь треугольник. Именно в этот момент длина стороны квадрата - наименьшая относительно фиксированного треугольника, а если считать ее равной 1, то сторона треугольника оказывается наибольшей.

Теорема Боттемы

Задача 32 в Геометрия-канале имеет собственное имя - она называется теоремой Боттемы. 

Эне Боттема (1901-1992) - голландский математик, наиболее известный своими трудами в геометрии.

Теорема Боттемы утверждает, что середина отрезка Ab Ba - точка М - не зависит от положения вершины C. На этом рисунке показаны некоторые вспомогательнгые свойства точки M.

Мы приведем три разных доказательства теоремы. Первое - совсем простое, но использующее комплексные числа.

Пусть вершины A,B и C задаются комплексными числами α, β и γ соответственно. Умножение комплексного числа на i равносильно поворота на угол p/2 против часовой стрелки, а умножение на (-i) - повороту в обратном направлении. Это значит, что Ba = α + (γ - α)·i и Ab = β + (γ - β)·(-i), откуда (Ab + Ba)/2 = (α + β)/2 + (β - α)·i/2. Очевидно, что это выражение не зависит от C = γ, что и требовалось доказать. [Отсюда же сразу получается, что AMB - равнобедренный прямоугольный треугольник, как показано на рисунке выше],

Второе доказательство - вычисление в координатах - для тех, кто не знаком с комплексными числами.

Расположим начало координат в точке O - середине отрезка AB. Пусть A=(−1,0), B=(1,0), а C=(x,y). Тогда нетрудно сосчитать координаты 

Ab=(y+1,1−x) и Ba=(−1−y,1+x), откуда середина отрезка между ними имеет координаты

 (Ab+Ba)/2=(0,1).

Ну а третье доказательство будет в стиле "смотри". Вертикальный отрезок посередине
делит прямоугольник пополам, поскольку проходит (по построению) через середину
отрезка AB, а левая вертикальная сторона находится от А на таком же расстоянии, как
правая - от B (оба этих расстояния равны высоте CH). Следовательно, середина отрезка
EG непременно попадает на этот отрезок. При этом - попадает в его середину, 
так как точка E находится на расстоянии синего отрезка от нижней стороны 
прямоугольника, а точка G - на таком же расстоянии от верхней стороны.  

Все приведенные здесь доказательства взяты с сайта Александра Богомольного Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/GeoGebra/VisualBottema.shtml,

.