Алгоритмические аспекты школьной геометрии

Алгоритмические аспекты школьной геометрии
(тезисы доклада в Кирове на конференции по математическому образованию одаренных школьников, 03.10.2016)

Практически во всех учебных планах по геометрии значительное количество часов отводится на решение задач. При этом остается «за кадром», какие именно задачи должны решаться. С одной стороны, это оставляет свободу выбора не только авторам учебников и задачников, но и разумным учителям. С другой — каждая свобода предполагает и определённую ответственность. Я бы хотел обратить ваше внимание на актуальность и важность алгоритмического подхода при решении абсолютно всех геометрических задач, но в особенности — при решении задач на построение.

Начну с классики.

Задача 1. Дана прямая и точка на ней. Провести через эту точку перпендикуляр к прямой.

Эта задача встречается еще у Евклида («Начала», Книга 1, Предложение 11). И, начиная с Евклида, мы учим школьников, что решать ее надо примерно так:

Сначала отметить на прямой точки B и C на равных расстояниях от данной точки A, затем построить третью вершину D правильного треугольника BCD. Прямая AD – искомый перпендикуляр. Евклид доказывает это с помощью признака равенства треугольников ABD и ACD, и все учебники геометрии вслед за ним повторяют и это построение, и это доказательство.

Безусловно, в этом нет ничего плохого, и я не предлагаю ничего менять в этом месте. Однако потом, после изучения темы «окружность», имело бы смысл снова вернуться к этой задаче и предложить ученикам найти альтернативное построение, требующее меньшего количества шагов. Под шагами я здесь и далее буду понимать проведенные линии. Такое построение существует и является в чем-то даже более красивым, чем решение Евклида. Вот оно:

Удивителен здесь самый первый шаг — проведение окружности с центром в произвольной точке B вне данной прямой. А доказательство правильности построения — после изучения свойств вписанных углов — ничуть не сложнее евклидового.

Стоит отметить, что если такое «экономичное» решение задачи 1 не является новым, то неоптимальность решения следующей задачи, по-видимому, осталась незамеченной всеми авторами учебников, методистами и пр.

Задача 2. Дана окружность и точка на ней. Провести через эту точку касательную к окружности.

Классический способ решения — сначала провести диаметр, а потом перпендикуляр к нему. Даже если воспользоваться «экономным» алгоритмом проведения перпендикуляра, это потребует 1+3=4 операции. Однако задача решается за 3 операции, то есть не требует проведения диаметра. Более того, она вообще обходится без использования центра окружности. На нашем рисунке его вовсе нет.

Как и в задаче о перпендикуляре, здесь неожиданен уже первый шаг — проведение через А второй окружности с центром в произвольной точке C  данной окружности. Кстати, как доказать, что прямая AG – действительно касательная? Для этого достаточно знать теорему про угол между касательной и хордой (AC).

В чем преимущество «экономных» построений перед стандартными? Разве так уж важно, решена ли задача за четыре шага или за три? Для конкретной задачи — безусловно, не важно, потому что в геометрии не бывает «хороших» и «плохих» решений, а бывают только правильные и неправильные. Но вот в окружающем мире, в том числе и в школе, детям очень часто приходится решать задачи именно с ограниченными ресурсами — пробежать стометровку, уложившись в норматив, или успеть решить контрольную работу до того, как прозвенит звонок. Почему мы в геометрии игнорируем возможность ставить задачи с явным ограничением ресурсов?

Отдельно хочу остановиться на том, где в школьной геометрии возможность поставить задачи с ограничением на используемые ресурсы вроде бы не игнорируется — речь о задачах на построение одним циркулем или одной линейкой. Да, такие задачи на кружках иногда рассматриваются. Однако и в них вопрос об экономичности построения никогда не ставится, в итоге из одной методической разработки в другую кочуют «решения» задач, которые никогда не рассматривались под алгоритмическим углом зрения и никем не улучшались.

Закончу небольшим историческим экскурсом и сводкой задач.

Идея геометрографии - подсчета числа шагов в построениях, - безусловно, не нова. Одним из первых ее выдвигал французский геометр Эмиль Лемуан еще в самом начале XX века. Однако тогда эта идея явно опередила своё время.

Задачи.

1.     Дан луч с началом в точке A, на котором отмечены точки B и C. Построить на луче точку D такую, для которой AD = AB² /AC (3 шага)

2.     Дана окружность и точка A вне неё. Провести касательную. (5 шагов)

3.     Дан треугольник, построить вписанную в него окружность (8 шагов)

4.     Разделить данный отрезок на три равных части (6 шагов)

5.     Решить предыдущую задачу одной линейкой (8 шагов)

6.     Дана окружность с неизвестным центром. Построить его одним циркулем (6 шагов)

Литература

1.     Emile Lemoine. Géométrographie ou Art des constructions géométriques - 1902.

2.     К.А.Кноп. Одной линейкой - http://elementy.ru/problems/1243

3.     Коллекция интерактивных задач по геометрии — www.euclidea.xyz